Soutenance de thèse de Giacomo PIRACCINI

Ce travail consiste à développer des stratégies d'adaptivité h afin d'améliorer les capacités du solveur de fluide SOLEDGE3X-HDG pour simuler les plasmas de fusion de bord dans des dispositifs magnétiques tels qu'ITER. Les expérimentations de fusion futures doivent gérer durablement des températures élevées pour permettre les réactions, et par conséquent des flux de chaleur intense sur les parois des tokamaks. Des conditions opérationnelles difficiles doivent être mises en place sur la machine afin de maintenir la combustion du plasma dans le cœur tout en assurant une répartition suffisante de la puissance sur les composants dédiés des parois. Un plasma dans un tokamak constitue un environnement extrême, dans lequel les mesures sont difficiles. La modélisation numérique a donc un rôle important à jouer dans l'investigation de moyens d'améliorer les scénarios de plasma. Dans ce contexte, le code SOLEDGE3X-HDG résout les équations de transport fluide en 2D dans des géométries magnétiques et de paroi de tokamak précises, en utilisant une méthode de Galerkin Discontinue Hybride (HDG). Ce formalisme, construit dans un cadre d'éléments finis d'ordre élevé, est bien adapté à la résolution des équations de conservation dans la géométrie complexe d'un tokamak. L'avancement temporelle est effectué avec une discrétisation implicite utilisant des itérations Newton-Raphson. Un désign inadéquat du maillage peut conduire à des difficultés si le maillage choisi est trop grossier, notamment près de la LCFS ou sur les coins de la paroi avec des valeurs réalistes des diffusivités turbulentes, ou si le maillage est trop raffiné, ce qui conduit à des temps de calcul inacceptables. Cette thèse explore la possibilité d'automatiser le remaillage grâce à l'adaptivité spatiale de type h afin de donner aux utilisateurs un accès plus fiable à des simulations localement raffinées avec des besoins moindres en mémoire et en temps de calcul. Cette investigation est réalisée à l'aide d'un modèle réduit 2D pour la densité ionique et la quantité de mouvement parallèle, qui est représentatif du transport du plasma et de son interaction avec la paroi dans le bord d'un tokamak. Le maillage est optimisé de manière itérative en adaptant la taille des éléments du maillage à l'erreur locale jusqu'à ce qu'un estimateur global de l'erreur atteigne une valeur seuil. Plusieurs estimateurs sont examinés pour caractériser la distribution spatiale de l'erreur et conduire l'optimisation du maillage. L'estimateur d'erreur basé sur la solution numérique conduit à une amélioration de la discrétisation, réduisant le nombre de degrés de liberté tout en conservant une précision suffisante. La stratégie d'adaptation est encore améliorée par l'utilisation d'un indicateur qui identifie les éléments dans lesquels de fortes oscillations sont présentes imposant le raffinement dans ces éléments. La stratégie finale développée repose sur une adaptation du maillage basée sur un estimateur de la norme L2 de l'erreur qui utilise la propriété de superconvergence du HDG pour limiter au minimum l'effort d'évaluation de l'estimateur. La prédiction de la taille d'élément requise localement est ensuite déterminée à l'aide d'une extrapolation de Richardson qui permet à la fois le d'agrandir les éléments ou de les raffiner. Un indicateur d'oscillation, basé sur la contribution d'ordre plus élevé à la norme locale du nombre de Mach, est utilisé simultanément pour raffiner systématiquement les éléments problématiques. Cette stratégie est testée dans une géométrie réaliste de la section poloïdale d'un tokamak, à la fois sur des calculs statiques des équilibres de transport et sur des calculs instationnaires de la propagation de la perturbation de la densité. On observe que la stratégie d'adaptivité h augmente la robustesse des calculs effectués par SOLEDGE3X-HDG et garantit systématiquement que le nombre d'éléments utilisés est inférieur à celui d'un maillage uniforme requis pour le même calcul.

This work consists in the development and evaluation of $h$-adaptivity strategies in order to enhance the computational capabilities of the fluid solver SOLEDGE3X-HDG to simulate edge fusion plasmas in magnetic devices such as ITER. Future experiments must sustainably manage heat fluxes onto the tokamak walls. Challenging operational conditions has to be set on the machine in order to maintain burning plasma in the core while accomplishing sufficient power spreading on the dedicated wall components yet below the materials' heat flux handling capacity threshold. A plasma in a tokamak constitutes an extreme environment, in which measurements are difficult and scarce. Thus, numerical modelling has an important role to play in interpreting plasma discharges and investigating means of improving plasma scenarios. In this context, the code SOLEDGE3X-HDG solves 2D transport fluid equations in accurate magnetic and tokamak wall geometries, by using a Hybrid Discontinuous Galerkin (HDG) method. This formalism, constructed in a high-order, finite-element framework, is well suited for the solution of conservation equations in the complex geometry of a tokamak. Time advancement is performed with a fully implicit discretization using Newton-Raphson iterations. Inadequate mesh design can lead to difficulties in the event that the mesh chosen is too coarse locally, especially close to the last closed flux surface or on corners of the wall with realistic values of the turbulent diffusivities, or in the event that the mesh is too refined, which leads to unacceptable computing times. This thesis investigates the possibility of automating remeshing through textit{h}-type spatial adaptivity in order to give users more reliable access to locally refined simulations with lower memory and computing time requirements. This investigation is performed using a 2D reduced model for ion density and parallel momentum, which is relevant and representative of transport of the plasma and its interaction with the wall in the edge of a tokamak. The mesh is optimized iteratively to ensure that a global estimator of the error reaches a threshold value by adapting the size of mesh elements to the local error. Several estimators are examined to characterize the spatial error distribution and drive the mesh optimization. The output-based error estimator leads to an enhancement of the discretization, reducing the number of degrees of freedom needed while keeping sufficient accuracy of the solution. The adaptation strategy is further enhanced by the use of an indicator that identifies elements in which strong oscillations are present and enforces refinement in these elements. The final strategy developed relies on a mesh adaptation based on an estimator of the $mathcal{L}^2$-norm of the error that makes use of the superconvergent property of the HDG discretization to limit the effort in constructing the estimator to a minimum. The prediction of the required local mesh size is then determined using a Richardson extrapolation that allows both coarsening and refinement. An oscillation indicator, based on the highest-order contribution to the local norm of the Mach number, is used concurrently to systematically refine troublesome elements. This strategy is tested in a realistic geometry of the poloidal section of a tokamak, on both steady computations of transport equilibria, and unsteady computation of the propagation of density perturbation. It is observed that the textit{h}-adaptivity strategy increases the robustness of calculations performed by SOLEDGE3X-HDG and consistently ensures that the number of elements used is lower than in a uniform mesh required for the same computation.